দশম শ্রেণি- অনুপাত ও সমানুপাত অঙ্ক তার সমাধান

Website Name:-www.ourbook.in

এই সমস্ত অংক গুলো পশ্চিমবঙ্গ মাধ্যমিক অঙ্ক বই গণিত প্রকাশ বই থেকে নেওয়া

পাতা নাম্বার 77 থেকে 99,কষে দেখি অধ্যায়-5

অনুপাত ও সমানুপাত কি,অনুপাত ও সমানুপাত এর সূত্র -বোঝার জন্য এই বাটনে ক্লিক করুন
1 দাগের অঙ্কগুলো


1/(i)4 মাস এবং 1 বছর 6 মাস
1 বছর 6 মাস = 12 মাস + 6 মাস = 18 মাস

এখন 4 মাস ও 18 মাসের অনুপাত নির্ণয় করি | অনুপাত কিভাবে নির্ণয় করা হয় তা বোঝানো হয়েছে | বিস্তারিত জানতে উপরের বাটনে ক্লিক করে পড়তে পারেন |


পূর্বপদ উত্তর পদ
4 মাস 18 মাসের
4 18
2 9

উত্তর :-4 মাস এবং 1 বছর 6 মাস এর অনুপাত হলো 2:9 | এই অনুপাতটি হলো লঘু অনুপাত | লঘু অনুপাত কি তা জানতে উপরের বাটনে ক্লিক করুন |





1/(ii)75 পয়সা এবং 1 টাকা 25 পয়সা
এখন 75 পয়সা এবং 1 টাকা 25 পয়সা এর অনুপাত নির্ণয় করি | 1 টাকা 25 পয়সা = 125 পয়সা
পূর্বপদ উত্তর পদ
75 পয়সা 125 পয়সা
3 5

উত্তর :-75 পয়সা এবং 1 টাকা 25 পয়সা এর অনুপাত হলো 3:5 | এই অনুপাতটি হলো লঘু অনুপাত |



1/(iii)60 সেমি এবং 0.6 মিটার
এখন 60 সেমি এবং 0.6 মিটার এর অনুপাত নির্ণয় করিব | 0.6 মিটার = 60 সেমি |
পূর্বপদ উত্তর পদ
60 সেমি 60 সেমি
6 6
1 1

উত্তর :-60 সেমি এবং 0.6 মিটার এর অনুপাত হলো 1:1 | এই অনুপাতটি হলো সাম্যানুপাত | সাম্যানুপাত কী তা বিস্তারিত বোঝানো হয়েছে | বিস্তারিত জানতে অনুপাত ও সমানুপাত পৃষ্ঠাতে গিয়ে পড়তে পারেন | উপরের বাটন ক্লিক করে সরাসরি পৌঁছাতে পারবেন |





1/(iv)1.2 কিগ্রা এবং 60 গ্রাম
এখন 1.2 কিগ্রা এবং 60 গ্রাম এর অনুপাত নির্ণয় করিব | 1.2 কিগ্রা = 1200 গ্রাম |
পূর্বপদ উত্তর পদ
1200 গ্রাম 60 গ্রাম
120 6
20 1
উত্তর :-এখন 1.2 কিগ্রা এবং 60 গ্রাম এর অনুপাত হলো 20:1 | এই অনুপাতটি হলো গুরু অনুপাত | গুরু অনুপাত কী তা বিস্তারিত জানতে অনুপাত ও সমানুপাত পৃষ্ঠাতে গিয়ে পড়তে পারেন | উপরের বাটন ক্লিক করে সরাসরি পৌঁছাতে পারবেন |
2 দাগের অঙ্কগুলো


2/(i) p কিগ্রা ও q গ্রামের অনুপাতটি লিখি
উত্তর :-p কিগ্রা ও q গ্রামের অনুপাতটি হল 1000p:q | কিভাবে এলো দেখে নেওয়া যাক |

অনুপাত নির্ণয় করতে হলে রাশি দুটি কে সমান এককে পরিণত করতে হবে | এখানে পূর্বপদ এর একক হলো কিগ্রা ও উত্তর পদের একক হলো গ্রাম | পূর্বপদ এর একক কে গ্রামে পরিণত করতে হবে | কিলোগ্রাম কে গ্রামে পরিণত করতে হলে কিলোগ্রাম এর রাশিটির সঙ্গে 1000 দিয়ে গুন করতে হবে | তাই p কিগ্রার সঙ্গে 1000 গুন করে 1000p গ্রামে পরিনত করা হলো | এর পর রাশি দুটির একক সমান হলে অনুপাত নির্ণয় করিলাম | গ্রাম কে কিলোগ্রামে পরিণত করে অংকটি করতে পারতাম |



2/(ii) x দিন ও z মাসের মধ্যে অনুপাত নির্ণয় কখন সম্ভব হবে লিখি
উত্তর :-দুটি রাশিকে একই এককে পরিণত করলে |

অর্থাৎ দিনকে মাসে পরিণত করিলে অথবা মাসকে দিনে পরিনত করে | এখানে মাসকে দিনে পরিণত করে অঙ্কটি করতে হবে | তা হলে অঙ্কটি করতে সহজ হবে | যদিও অঙ্কটি সমাধান করতে বলা হয় নি |



2/(iii) একটি অনুপাত ও তার ব্যস্ত অনুপাতের মিশ্র অনুপাত কী ধরনের অনুপাত হবে লিখি
উত্তর :-সাম্যানুপাত | কিভাবে এলো তা অনুপাত ও সমানুপাত পৃষ্ঠাতে বোঝানো হয়েছে |

2/(iv) \(\frac{a}{b}\):c, \(\frac{b}{c}\):a, \(\frac{c}{a}\):b - এর মিশ্র অনুপাত নির্ণয় করি |
উত্তর :-(\(\frac{a}{b}\times \frac{b}{c}\times \frac{c}{a}\)) : (\(c\times a\times b\))
1:cab
1:abc

2/(v) \(x^{2}\):yz এবং কোন অনুপাতের মিশ্র অনুপাত xy:\(z^{2}\) হবে হিসাব করে লিখি
উত্তর :-ধরিলাম \(x^{2}\):yz এবং a:b অনুপাতের মিশ্র অনুপাত হবে xy:\(z^{2}\)
অতএব (\(x^{2} \times a\)) : (\(yz \times b\)) = (xy:\(z^{2}\))
or \(\frac{x^{2} \times a}{yz \times b}\) = \(\frac{xy}{z^{2}}\)
\(\frac{a}{b}\) = \(\frac{xy\times yz}{z^{2}\times x^{2}}\)
\(\frac{a}{b}\) = \(\frac{y\times y}{z\times x}\)
\(\frac{a}{b}\) = \(\frac{y^{2}}{zx}\)
ANS:- a:b = \(y^{2}:zx\)
অতএব \(x^{2}\):yz এবং \(y^{2}:zx\) অনুপাতের মিশ্র অনুপাত হবে xy:\(z^{2}\)

2/(vi) \(x^{2} : \frac{yz}{x}\), \(y^{2} : \frac{zx}{y}\), \(z^{2} : \frac{yx}{z}\) অনুপাতগুলির ব্যস্ত অনুপাতগুলির যৌগিক অনুপাত নির্ণয় করি |
\(x^{2} : \frac{yz}{x}\) অনুপাত এর ব্যস্ত অনুপাত হল \(\frac{yz}{x} : x^{2} \) |
\(y^{2} : \frac{zx}{y}\) অনুপাত এর ব্যস্ত অনুপাত হল \( \frac{zx}{y} : y^{2}\) |
\(z^{2} : \frac{yx}{z}\) অনুপাত এর ব্যস্ত অনুপাত হল \( \frac{yx}{z}: z^{2} \) |

(\(\frac{yz}{x} : x^{2} \)) , (\( \frac{zx}{y} : y^{2}\)) , (\( \frac{yx}{z}: z^{2} \) )এদের যৌগিক অনুপাত হলো
\(\frac{yz}{x} \times \frac{zx}{y} \times \frac{yx}{z} \): \(x^{2} \times y^{2} \times z^{2} \)
\(\frac{yz\times zx\times yx}{xyz} \): \((xyz)^{2} \)
\(\frac{(xyz)^{2}}{xyz} \): \((xyz)^{2} \)
\(\frac{1}{xyz} \): \(1 \) পূর্বপদ ও উত্তর পদের সঙ্গে xyz গুন করলে হবে
\(\frac{1\times xyz}{xyz} \): \(1\times xyz \)
1:xyz

অতত্রব এই অঙ্কের উত্তর হবে 1:xyz

3. নিম্নলিখিত গুলির মিশ্র অনুপাত বা যৌগিক অনুপাত নির্ণয় করি |



3/(i) 4:5, 5:7 এবং 9:11
\(4\times 5\times 9\):\(5\times 7\times 11\)
\(4\times 9\):\( 7\times 11\)
ANS:-36:77

3/(ii)\((x+y):(x-y)\), \((x^{2}+y^{2}):(x+y)^{2}\) এবং \((x^{2}-y^{2})^{2}:(x^{4}-y^{4})\)


\((x+y)\times (x^{2}+y^{2})\times (x^{2}-y^{2})^{2}\):\((x-y)\times (x+y)^{2}\times (x^{4}-y^{4})\)
\((x^{2}+y^{2})\times (x^{2}-y^{2})^{2}\):\((x-y)\times (x+y)\times (x^{4}-y^{4})\) উভয় পদের সঙ্গে(x+y) ভাগ করা হয়েছে
\((x^{2}+y^{2})\times (x^{2}-y^{2})^{2}\):\((x-y)\times (x+y)\times (x^{2}+y^{2})\times (x^{2}-y^{2})\)
\((x^{2}-y^{2})^{2}\):\((x-y)\times (x+y)\times (x^{2}-y^{2})\) উভয় পদের সঙ্গে\((x^{2}+y^{2})\) ভাগ করা হয়েছে
\((x-y)\)এর সঙ্গে \((x+y)\)এর গুন করলে হবে \((x^{2}-y^{2})\)
\((x^{2}-y^{2})^{2}\):\((x^{2}-y^{2})\times (x^{2}-y^{2})\)
\((x^{2}-y^{2})^{2}\):\((x^{2}-y^{2})^{2}\)
ANS:-1:1

4/(i)A:B=6:7 এবং B:C=8:7হলে A:C নির্ণয় করি


স্কুলের পরীক্ষার জন্য

ধরিলাম A:B=6:7 হল 1.NO সমিকরন এবং B:C=8:7 হল 2.NO সমিকরন | প্রথম নম্বর সমীকরণে B এর মান 7 এবং দ্বিতীয় নম্বর সমিকরণে B এর মান 8 | দুটি সমীকরণের B এর মান আলাদা | আমাদের কে দুটি সমীকরণ এর B এর মান সমান করতে হবে | তাই এখানে প্রথম সমীকরণের উভয় পদের সঙ্গে 8 গুন করিলাম | এবং দ্বিতীয় সমীকরণের উভয় পদের সঙ্গে 7 গুণ করিলাম | এর ফলে উভয় সমীকরণের B এর মান সমান হবে | উত্তর হবে নিম্নরূপ |



1.NO সমিকরনA:B=\(6\times 8 : 7\times 8\)
A:B=48:56

2.NO সমিকরন B:C=\(8\times 7 : 7\times 7\)
B:C=56:49

দুটি সমীকরণে B এর মান সমান | তাই এই রকম ভাবে লিখতে পারি এখন A:B:C এর মান হবে 48:56:49
এখানে B এর মান বাদ দিয়ে A:C এর মান লিখিব | অর্থাৎ 56 বাদ দিয়ে 48:49 লিখিব |
ANS: A:C=48:49


চাকরির পরীক্ষার জন্য

আমরা অঙ্কটি কে এই রকম পদ্ধতিতে করতে পারিব | এর ফলে এই রকম অনুপাত নির্ণয় করা সহজ হবে |


প্রথমে অনুপাতের বাম দিকের রাশিগুলি অর্থাৎ চল রাশিগুলির সমাধান করিব | চল রাশিগুলি হল A:B, B:C | আমাকে A:C এর মান নির্ণয় করতে হবে | তাই আমরা লিখিব \(\frac{A}{B}\times \frac{B}{C} = \frac{A}{C} \)=A:C | এই অঙ্কের বাস্তব রাশিগুলির অনুপাত হলো 6:7,8:7 | এই রকম ভাবে বাস্তব রাশিগুলি লিখলে হবে \(\frac{6}{7}\times \frac{8}{7} \) | এখানে B এর মান সমান নায়, অর্থাৎ প্রথম সমীকরণে B এর মান 7 ও দ্বিতীয় সমীকরণ এ B এর মান 8 | এখানে B এর মান সমান করতে হবে | B এর মান সমান করার জন্য প্রথম ভগ্নাংশের লব ও হরের সঙ্গে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব এর মান গুন করব | অর্থাৎ প্রথম ভগ্নাঅংশের B এর মান সমান করার জন্য প্রথম ভগ্নাংশের লব ও হরের সঙ্গে 8 গুন করব | আর দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব ও হরের সঙ্গে প্রথম ভগ্নাংশের হর এর মান গুন করব অর্থাৎ 7 গুন করব | এর ফলে প্রথম ভগ্নাংশের ও দ্বিতীয় ভগ্নাংশের B এর মান সমান হবে | নিচে সমাধানের মাধ্যমে বোঝা যাক |



\(\frac{6}{7}\times \frac{8}{7} \)

\(\frac{6\times 8}{7\times 8}\times \frac{8\times 7}{7\times 7} \)

\(\frac{48}{56}\times \frac{56}{49} \)

\(\frac{48}{49} \) = 48:49

ANS: 48:49

এখানে B এর মান 56 হওয়ার জন্য প্রথম ভগ্নাংশের হর ও দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব এর মান সমান হলো | তার ফলে হর-56 ও লব-56 এদের মধ্য কাটাকাটি হয়ে গেল, অর্থাৎ ভাগ হলো | প্রথম ভগ্নাংশ ও দ্বিতীয় ভগ্নাংশের মধ্যে গুণিত চিহ্ন থাকার কারনে ভাগ হয়েছে | এই রকম ভাবে অঙ্কটি করিলে কোনো ভুল হবে না বলে আমার মনে হয় |

4/(ii)A:B=2:3 B:C=4:5 এবং C:D=6:7 হলে A:D নির্ণয় করি

আগের অঙ্কটিতে বোঝানো হয়েছে | তাই শুধু সমাধান করা হয়েছে |প্রথমে A:C এর মান নির্ণয় করিব | তার পর A:C এর মান এর সঙ্গে C:D এর মানের সমাধান করিব | সমাধান করিলে A:C এর মান পাওয়া যাবে | এবার অঙ্কটিতে আসা যাক |



স্কুলের পরীক্ষার জন্য
1.NO সমিকরনA:B=\(2\times 4 : 3\times 4\)
A:B=8:12

2.NO সমিকরন B:C=\(4\times 3 : 5\times 3\)
B:C=12:15

দুটি সমীকরণে B এর মান সমান | তাই এই রকম ভাবে লিখতে পারি এখন A:B:C এর মান হবে 8:12:15
এখানে B এর মান বাদ দিয়ে A:C এর মান লিখিব | অর্থাৎ 12 বাদ দিয়ে 8:15 লিখিব |
অর্থাৎ A:C=8:15

এর পর A:C এর সঙ্গে C:D এর মান সমাধান করিব
পাওয়া সমিকরন A:C=\(8\times 6 : 15\times 6\)
A:C=48:90

3.NO সমিকরন C:D=\(6\times 15 : 7\times 15\)
C:D=90:105

A:D=48:105=16:35 (3 দ্বারা ভাগ করে লঘিষ্ঠ আকারে পরিনত করা হলো)

চাকরির পরীক্ষার জন্য
\(\frac{A}{B}\times \frac{B}{C} \times \frac{C}{D}= \frac{A}{D} \)

\(\frac{2}{3}\times \frac{4}{5} \times \frac{6}{7} \)

\(\frac{2\times 4\times 6}{3 \times 4\times 6}\times \frac{4\times 3\times 6}{5\times 3\times 6} \times \frac{6\times 5\times 3}{7\times 5\times 3} \)

\(\frac{48}{72}\times \frac{72}{90} \times \frac{90}{105} \)

\(\frac{48}{105}\)

\(\frac{48\div 3}{105\div 3}\)

\(\frac{16}{35}\)

16:35

4/(iii)যদি A:B=3:4 এবং B:C=2:3 হয়, তাহলে A:B:C নির্ণয় করি |

স্কুলের পরীক্ষার জন্য

আগের অঙ্ক দুটো তে সমাধান করার পদ্ধতি আলোচনা করা হয়েছে | তাই এই অঙ্কটিতে শুধু সমাধান করা হয়েছে |

1.NO সমিকরনA:B=\(3\times 2 : 4\times 2\)
A:B=6:8

2.NO সমিকরন B:C=\(2\times 4 : 3\times 4\)
B:C=8:12

A:B:C এর মান হবে 6:8:12
6:8:12 এর লঘিষ্ঠ আকার হলো 3:4:6
ANS:- অতএব উত্তর হলো 3:4:6
চাকরির পরীক্ষার জন্য
\(\frac{A}{B}\times \frac{B}{C} \times \frac{C}{D}= \frac{A}{D} \)

\(\frac{3}{4}\times \frac{2}{3} \)

\(\frac{3\times 2}{4\times 2}\times \frac{2\times 4}{3\times 4} \)

\(\frac{6}{8}\times \frac{8}{12} \)

A:B:C=6:8:12

6:8:12 এর লঘিষ্ঠ আকার হলো 3:4:6
ANS:- অতএব উত্তর হলো 3:4:6

4/(iv)যদি x:y=2:3 এবং y:z=4:7 হযলে,x:y:z নির্ণয় করি |

স্কুলের পরীক্ষার জন্য
1.NO সমিকরনx:y=\(2\times 4 : 3\times 4\)
x:y=8:12

2.NO সমিকরন y:z=\(4\times 3 : 7\times 3\)
y:z=12:21

x:y:z এর মান হবে 8:12:21
ANS:- অতএব উত্তর হলো 8:12:21

5/(i)x:y=3:4 হলে, (3y-x):(2x+y) কত হবে নির্ণয় করি |

স্কুলের পরীক্ষার জন্য

3:4 হল x:y অনুপাতের লঘিষ্ঠ আকার | তাই x:y এর আসল মান পাওয়ার জন্য অনুপাতের পূর্বপদ ও উত্তর পদ এর সঙ্গে আনুমানিক একটি বাস্তব সংখ্যা k গুন করা হল (\(k\neq 0\))| k গুণ করার জন্য অনুপাতটি হল 3k:4k | এখন x এর আসল মান হল 3k ও y এর আসল মান হল 4k | এর পর সমীকরণে x ও y এর মান বসিয়ে পাই |



(3y-x):(2x+y)
x ও y এর মান বসিয়ে পাই
\((3\times 4k - 3k):(2\times 3k + 4k)\)
(12k - 3k):(6k + 4k)
9k:10k
9:10

অতএব (3y-x):(2x+y) এর মান হবে 9:10

5/(ii)a:b = 8:7 হলে, দেখাই যে (7a-3b):(11a-9b)=7:5 |

স্কুলের পরীক্ষার জন্য

a:b=8:7 হলে, দেখাও যে (7a-3b):(11a-9b)=7:5


a:b=8:7
a:b=8k:7k

(7a-3b):(11a-9b)

a ও b এর মান বসিয়ে পাই

\((7\times 8k -3\times 7k):(11\times 8k-9\times 7k)\)

\(\frac{(7\times 8k -3\times 7k)}{(11\times 8k-9\times 7k)}\)

\(\frac{7(1\times 8k -3\times k)}{(88k-63k)}\) 7 কমন নেওয়া হল

\(\frac{7(8k -3k)}{(25k)}\)

\(\frac{7(5k)}{(25k)}\)

\(\frac{7(5)}{(25)}\)k ভাগ হল

\(\frac{7}{5}\)5 ভাগ হল

7:5 প্রমানিত

5/(iii)p:q = 5:7 এবং p-q=-4 হলে, 3p+4q এর মান নির্নয় করি |

স্কুলের পরীক্ষার জন্য

এই অনুপাতের অঙ্ক টি করার জন্য প্রথমে p:q অনুপাতের আসল মান ধরে নেব | অনুপাতের লঘিষ্ঠ মানের সঙ্গে k গুন করে আসল মান ধরে নিলাম | p:q এর ধরে নেওয়া আসল মান হল 5k:7k | p=5k,q=7k | p ও q এর মান p-q=-4 সমীকরণে বসিয়ে k এর মান পোলাম |


p-q=-4

p ও q এর মান বসিয়ে পাই
5k-7k=-4

-2k=-4
2k=4

k=2 (4/2=2)

সমধান করে k এর মান 2 পেলাম | এর পর p:q অনুপাতের আসল মান পেলাম | p:q অনুপাতের আসল মান হল \((5\times 2):(7\times 2)\)=10:14 | p=10, q=14 | এর পর 3p+4q সমিকরনে p ও q এর পাওয়া আসল মান বসিয়ে অঙ্কটি সমাধান করা হল |


3p+4q (p=10 ও q=14 বসিয়ে পাই)

\((3\times 10)+(4\times 14)\)

30+56

ANS:-86

6/(i)(5x-3y):(2x+4y)=11:12 হলে, x:y নির্ণয় করি |

স্কুলের পরীক্ষার জন্য
(5x-3y):(2x+4y)=11:12

\(\frac{(5x-3y)}{(2x+4y)}=\frac{11}{12}\)

\((5x-3y)\times 12=11\times (2x+4y)\)

60x-36y = 22x+44y

60x-22x=44y+36y

38x=80y

\(\frac{x}{y}=\frac{80}{38}\)

\(\frac{x}{y}=\frac{40}{19}\)

ANS:- x:y=40:19

6/(ii)(3a+7b):(5a-3b)=5:3 হলে, a:b নির্ণয় করি |

স্কুলের পরীক্ষার জন্য
এই অঙ্কটি আগের মতো

(3a+7b):(5a-3b)=5:3

\(\frac{(3a+7b)}{(5a-3b)}=\frac{5}{3}\)

\((3a+7b)\times 3=5\times (5a-3b)\)

9a+21b = 25a-15b

9a-25a=-15b-21b

-16a=-36b

16a=36b

\(\frac{a}{b}=\frac{36}{16}\)

\(\frac{a}{b}=\frac{18}{8}\)

\(\frac{a}{b}=\frac{9}{4}\)

ANS:- a:b=9:4

7/(i)(7x-5y):(3x+4y)=7:11 হলে, দেখাও যে (3x-2y):(3x+4y)=127:473 |


এখানে এই অনুপাতের অঙ্কটি ভুল আছে | সঠিক হবে (7x-5y):(3x+4y)=7:11 হলে, দেখাও যে (3x-2y):(3x+4y)=137:473 | এখানে 127 এর পরিবর্তে 137 হবে |

স্কুলের পরীক্ষার জন্য

প্রথমে x ও y এর মান বের করিব | তার পর x ও y এর মান (3x-2y):(3x+4y) এই সমীকরণে বসিয়ে দিলে আমি একটি উত্তর পাবো | সেই উত্তর টি হবে 127:473 |



(7x-5y):(3x+4y)=7:11

or \(\frac{(7x-5y)}{(3x+4y)}=\frac{7}{11}\)

or \((7x-5y)\times 11=7\times (3x+4y)\)

or 77x-55y = 21x+28y

or 77x-21x=28y+55y

or 56x=83y

or \(\frac{x}{y}=\frac{83}{56}\)

x:y=83:56

(3x-2y):(3x+4y) এই সমীকরণে x ও y এর মান বসিয়ে পাই

\((3\times 83-2\times 56):(3\times 83+4\times 56)\)

(249-112):(249+224)

137:473
প্রমাণিত

7/(ii)(10x+3y):(5x+2y)=9:5 হলে, দেখাও যে (2x+y):(x+2y)=11:13 |

স্কুলের পরীক্ষার জন্য
(10x+3y):(5x+2y)=9:5

or\(\frac{(10x+3y)}{(5x+2y)}=\frac{9}{5}\)

or\((10x+3y)\times 5=9\times (5x+2y)\)

or50x+15y = 45x+18y

or50x-45x=18y-15y

or5x=3y

or\(\frac{x}{y}=\frac{3}{5}\)

x:y=3:5

(2x+y):(x+2y) এই সমীকরণে x ও y এর মান বসিয়ে পাই

\((2\times 3+1\times 5):(1\times 3+2\times 5)\)

(6+5):(3+10)

11:13
প্রমাণিত

8/(i)2:5 অনুপাতের উভয়পদের সঙ্গে কত যোগ করলে অনুপাতটি 6:11 হবে নির্ণয় করি |

স্কুলের পরীক্ষার জন্য

ধরিলাম অনুপাতটির সঙ্গে p যোগ করা হলো | p যোগ করার ফলে অনুপাতটি (2+p):(5+p) হবে | এখন (2+p):(5+p) = 6:11 হবে | এর পর আমরা p এর মান নির্ণয় করিব |


(2+p):(5+p)=6:11

or\(\frac{(2+p)}{(5+p)}=\frac{6}{11}\)

or\((2+p)\times 11=6\times (5+p)\)

or22+11p=30+6p

or11p-6p=30-22

or5p=8

orp=\(\frac{8}{5}\)

অতএব 2:5 অনুপাতের উভয়পদের সঙ্গে \(\frac{8}{5}\) যোগ করলে অনুপাতটি 6:11 হবে

8/(ii)a:b বৈষম্যানুপাতের উভয়পদ থেকে কত বিয়োগ করলে বৈষম্যানুপাতটি m:n হবে নির্ণয় করি |

স্কুলের পরীক্ষার জন্য
ধরিলাম a:b বৈষম্যানুপাতের উভয়পদ থেকে p বিয়োগ করা হল

উভয়পদ থেকে p বিয়োগ করা হলে অনুপাতটি হবে a+p:b+p

শর্ত অনুযায়ী a+p:b+p=m:n

সমাধান a+p:b+p=m:n

\(\frac{(a+p)}{b+p}=\frac{m}{n}\)

\((a+p)\times n=m\times (b+p)\)

an+pn=bm+pm

pn-pm=bm-an

p(n-m)=bm-an

p=\(\frac{bm-an}{n-m}\)

8/(iii)কোনো সংখ্যা 4:7 অনুপাতের পূর্বপদের সঙ্গে যোগ এবং উত্তরপদ থেকে বিয়োগ করলে উৎপন্ন অনুপাতটির মান 2:3 ও 5:4 এর যৌগিক অনুপাত হবে |

স্কুলের পরীক্ষার জন্য

  1. ধরিলাম অনুপাতটির সঙ্গে p যোগ ও বিয়োগ করা হল | পূর্বাদের সঙ্গে p যোগ করা হল ও উত্তর পদের সঙ্গে p বিয়োগ করা হল | ফলে অনুপাতটি হবে (4+p):(7-p) |
  2. এর পর অঙ্কের দ্বিতীয় ধাপ হলো 2:3 ও 5:4 এদের যৌগিক অনুপাত নির্ণয় করা |
  3. শর্ত অনুযায়ী নির্ণয় করা যৌগিক অনুপাতের মান ও (4+p):(7-p) এর মান সমান হবে |



এখন 2:3 ও 5:4 এদের যৌগিক অনুপাত নির্ণয় করা যাক |


(\(2\times 5\)):(\(3\times 4\))

10:12
5:6


শর্ত অনুযায়ী (4+p):(7-p)=5:6

or\(\frac{(4+p)}{7-p}\)=5:6

or\((4+p)\times 6 =5\times (7-p)\)

or24+6p=35-5p

or6p+5p=35-24

or11p=11

orp=\(\frac{11}{11}\)

orp=1


1 সংখ্যা 4:7 অনুপাতের পূর্বপদের সঙ্গে যোগ এবং উত্তরপদ থেকে বিয়োগ করলে উৎপন্ন অনুপাতটির মান 2:3 ও 5:4 এর যৌগিক অনুপাত হবে |