অনুপাত ও সমানুপাত

অনুপাত ও সমানুপাত কি ও এর সমস্ত নিয়ম সহজ ভাষায় বিস্তারিত ভাবে আলোচনা করা হয়েছে । অনুপাত ও সমানুপাত এর অংক গুলি বিভিন্ন উদ্যাহারনের মাধ্যমে বোঝানোর চেষ্টা করা হয়েছে ।

এখানে আমরা যে যে বিষয় গুলো পড়িব তার তালিকা

1. অনুপাত কি ?
2. অনুপাত লেখার নিয়ম
3. সরল অনুপাতের পদ কি বা কাকে বলে
4. সাম্যানুপাত (Ratio of Equality)
5. বৈষম্যানুপাত (Ratio of Inequality)
6. ব্যস্ত অনুপাত বা বিপরীত অনুপাত (Inverse ratio)
7. গুরু অনুপাত (Ratio of greater inequality)
8. লঘু অনুপাত(Ratio of less inequality)
9. মিশ্র (Mixed ratio) বা যৌগিক অনুপাত (Compound ratio)
10. দুই এর অধিক রাশির অনুপাত
11. অনুপাতের অঙ্ক করার জন্য প্রয়োজনীয় সূত্র (law of ratio)

আমরা অনেক সময় অনুপাত শব্দটি ব্যবহার করে থাকি ৷ যেমন জল ও চিনির অনুপাত ঠিক ঠিক ব্যবহার করবে তা না হলে সরবতে মিষ্টি কম বা বেশি হয়ে যাবে, এ ছাড়াও বালি ও সিমেন্টের অনুপাত, খাবারের রান্নার সময় নুন-হলুদ-লঙ্কার অনুপাত, কাপড় কাচতে গেলে জল ও সাবানের অনুপাত, দুধ ও জলের অনুপাত । প্রভৃতি কথা আমরা ব্যবহার করে থাকি । কিন্তু এই সব গুলি হলো আনুমানিক ভাবে ব্যবহার করা । কিন্তু অঙ্কের আমাদের যথাযথ ভাবে পরিমান সহকারে অর্থাৎ সংখ্যা দিয়ে ব্যবহার করতে হবে ।

ধরো আমি জমিতে চাষ করার জন্য এক ধরনের সার তৈরি করবো । তার জন্য নিলাম 3kg পটাশ ও 7kg গোবর সার । পটাশ ও গোবর সার মিশিয়ে আমার তৈরি সারের ওজন হল 10kg । এই সার ব্যবহার করে আমি জমিতে ভালো ফসল উৎপন্ন করলাম ।

আমার বন্ধু আমার ফসলের গুণমান বিচার করে বলে তাকেও(আমার বন্ধু) ঐ সার দিতে হবে । ধরি আমার জমি( ১ বিঘা জমির) আয়তনে যে পরিমাণ ছিল আমার বন্ধুর জমি আমার থেকে ৫ গুন বেশি আয়তন (অর্থাৎ ৫ বিঘা জমি) । আমার জমির জন্য 10 kg সার তৈরি করলে বন্ধুর জন্য তৈরি করতে হবে 10 গুনিত 5 সমান 50 kg মিশ্র সার । অর্থাৎ পটাশ লাগবে 3kg × 5kg =50 kg সার । গোবর সার লাগবে 7kg × 5kg=35kg । অর্থাৎ জমির আয়তন বাড়ল 5 গুন, গোবর সার এর পরিমান বাড়ল 5 গুন, পটাস এর পরিমান বাড়ল 5 গুন, মোট সার এর পরিমান বাড়ল 5 গুন । এই রকম ভাবে কারো জমির আয়তন যদি 2 গুন বাড়ে তা হলে আগের মতো সব ক্ষেত্রে আমাকে 2 গুণ করে বাড়াতে হবে । এই রকম ভাবে বৃদ্ধি করলে গুন ও কমলে ভাগ করতে হবে প্রতি ক্ষেত্রে ।

এখানে অনুপাতের কোনো একক ব্যবহার করা চলবে না । যেমন 3 kg : 7 kg =3:7 লিখেছি , একক বলতে কিলোগ্রাম , মিটার , লিটার , টাকা, প্রভৃতি কে বোঝায় । কেবল মাত্র সংখ্যা দিয়ে বোঝাতে হয় । সংখ্যা চলরাশি বা বাস্তব রাশি দুটোর মধ্যে একটি কিম্বা দুটোই হতে পারে অনুপাতের ক্ষেত্রে ।

কোনো একটি সরল অনুপাতে যে সংখ্যা দুটি থাকে তাদের প্রত্যেকটিকে অনুপাতের এক একটি পদ বলে । সরল অনুপাতের প্রথম পদটিকে বলে পূর্বপদ (Antecedent) এবং দ্বিতীয় পদটিকে বলে উত্তরপদ (Consequent) । যেমন 3:7 অনুপাতে 3 হল পূর্বপদ এবং 7 হল উত্তরপদ ।

অনুপাতের প্রতিটি পদকে একই সংখ্যা দিয়ে গুন বা ভাগ করিলে অনুপাতের মানের কোনো পরিবর্তন হয় না । অর্থাৎ পূর্ব পদকে যে সংখ্যা দিয়ে গুন বা ভাগ করিব উত্তর পদকে সেই সংখ্যা দিয়ে গুন বা ভাগ করিতে হবে, এতে অনুপাতের মানের কোনো পরিবর্তন হবে না ।

কোনো অনুপাতের পূর্বপদ ও উত্তরপদ সমান হলে সেই অনুপাতকে সাম্যানুপাত বলে | অর্থাৎ a:b অনুপাত এর a=b হলে অনুপাতটি সাম্যানুপাত হবে |

যে অনুপাতের পূর্বপদ ও উত্তরপদ সমান নয় তখন সেই অনুপাতকে বৈষম্যানুপাত বলে | নিচের টেবিলে উদাহরণ এর সাহায্যে বোঝা যাক |

যে সকল অনুপাতের মান 1 এর থেকে বড় হয় সেই সকল অনুপাতকে গুরু অনুপাত বলে | অর্থাৎ \(\frac{a}{b} > 1\)

যে সকল অনুপাতের মান 1 এর থেকে ছোটো হয় সেই সকল অনুপাতকে লঘু অনুপাত বলে | অর্থাৎ \(\frac{a}{b} < 1\) |

কোনো অনুপাতের পূর্বপদ ও উত্তরপদের স্থান বিনিময় করে য়ে অনুপাতের শৃষ্টি করে সেই অনুপাতকে বলে মুল অনুপাতের ব্যস্ত অনুপাত । যেমন মুল অনুপাত হল 3:7 ও মূল অনুপাতের ব্যস্ত অনুপাত হলো 7:3 ।

আমরা অনেক সময় দুই বা তার বেশি সরল অনুপাত নিয়ে অঙ্ক করে থাকি । দুই বা তার বেশি সরল অনুপাতের পূর্বপদ গুলিকে গুন করে গুনফলকে পূর্বপদ ও উত্তরপদ গুলিকে গুন করে উত্তরপদ নির্নয় করে নতুন অনুপাত তৈরি করা হয় । সেই নতুন অনুপাতকে বলা হয় মিশ্র বা যৌগিক অনুপাত ।

একটি উদাহরণের সাহায্যে বোঝানোর চেষ্টা করিলাম :- 2:3, 5:7, 3:5 এই সরল অনুপাত তিনটির পূর্বপদ গুলির গুণফল হলো 2 × 5 × 3 = 30 । আর এই সরল অনুপাত তিনটির উত্তরপদ গুলির গুণফল হলো 3 × 7 × 5 = 105 । এখন নতুন অনুপাত হলো বা মিশ্র বা যৌগিক অনুপাত 30: 105 ও এর লঘিষ্ঠ রূপ হলো 2:7 । আমি এখানে উভয় পদকে 15 দিয়ে ভাগ করেছি, 30 ÷ 15 : 105 ÷ 15 = 2:7 । কারন আমরা জানি যে কোনো অনুপাতের পদ গুলিকে একই সংখ্যা দিয়ে ভাগ বা গুন করাযায় ।

আমি যে আগে সারের কথা উল্লেখ করেছি তা কেবল মাত্র দুটি ওজনের অনুপাত । কিন্তু কিছু কিছু ক্ষেত্রে দুই এর অধিক উপাদান নিয়ে তৈরি করিতে হয় । যেমন 3kg পটাশ, 7kg গোবর সার, 6kg ইউরিয়া ও 4kg দশ- ছাব্বিশ । এখানে আমি অনুপাত হিসেবে লিখিব :-

1. অনুপাতের প্রতিটি পদকে একই সংখ্যা দিয়ে গুন ও ভাগ করা যায় । এতে অনুপাতের মানের কোনো পরিবর্তন হয় না ।
2. যে কোনো অনুপাতকে প্রয়োজন মতো ছোটো বা বড় করা যায় ।
3. অনুপাত লেখার সময় আমরা কোনো একক ব্যবহার করবো না । কেবলমাত্র সংখ্যা দিয়ে প্রকাশ করিব ।
4. দুই পদ যুক্ত অনুপাতকে আমরা ভগ্নাংশ আকারে লিখতে পারি । এখানে ভগ্নাংশের সমস্ত নিয়ম কার্যকর হবে । উদাহরণ :- 3:4= \(\frac{3}{4}\), 7:8= \(\frac{7}{8}\)
5. একটি অঙ্কে বলা আছে A:B=3:7, B:C=2:5, C:D=5:3, D:E=3:5 তবে A:E এর মান কত ।

   আমরা করবো :- \(\frac{A}{B}\times\frac{B}{C}\times\frac{C}{D}\times\frac{D}{E}\) এখানে প্রতিটি অনুপাতকে প্রথমে ভগ্নাংশ আকারে লিখে নিলাম ও তারপর গুন করে কাটাকাটি করে নিলাম, তারপর যে উত্তর বেরোবে তা হলো A:E এর মান ।

   
   

   অতএব আমরা এখানে A,B,C,D,E এর মান গুলো বসিয়ে এই রকম ভাবে লিখবো \(\frac{3}{7}\times\frac{2}{5}\times\frac{5}{3}\times\frac{3}{5}\) । এখানে প্রতিটি ভগ্নাংশের প্রতিটি লবকে গুন করে নিলাম, উত্তর হবে \(3\times2\times5\times3\)=90 । আবার প্রতিটি ভগ্নাংশের প্রতিটি হরকে গুণ করে নিলাম, উত্তর হবে \(7\times5\times3\times5\)=525 । তা হলে গুন করার পর আমার নতুন অনুপাত হবে 90:525 । এরপর এই নতুন অনুপাতকে লঘিষ্ঠ আকারে পরিণত করলে হবে 6:35 । অতএব উত্তর হবে A:E=6:35 ।

   
   

   এতক্ষন আমি বোঝানোর জন্য উপরের এই পদ্ধতি অবলম্বন করিলাম । কিন্তু পরীক্ষার সময় আমি এই রকম ভাবে করবো \(\frac{3}{7}\times\frac{2}{5}\times\frac{5}{3}\times\frac{3}{5}\) = \(\frac{2\times3}{7\times5}\) = \(\frac{6}{35}\) । অতএব আমার অনুপাত হবে 6:35 । কত সহজেই হয়ে গেল সমাধান । এখানে 3 লব ও 3 হর কে করেছি কাটা কাটি করার জন্য মানে ভাগ করার জন্য । আর 5 লব ও 5 হর কে করেছি ভাগ করার জন্য । তার পর 2 ও 3 এর গুন করে গুণফল 6 হল, আর 7 ও 5 এর গুণ করে গুণফল 35 হল ।

6. দুটি সংখ্যার যোগফল হল a ও দুটি সংখ্যার অনুপাত হল p:q , তবে সংখ্যা দুটি কি কি হবে তা নির্ণয় করো ।
   
   

   একটি সংখ্যা হবে:- \(\frac{pa}{p+q}\) ও অপর সংখ্যা হবে:- \(\frac{qa}{p+q}\) । যোগ করার সময় সংখ্যা বড় ছোট দেখা হয় না ।

7. তিনটি সংখ্যার যোগফল হল a ও তিনটি সংখ্যার অনুপাত হল p:q:r , তবে সংখ্যা তিনটি কি কি হবে তা নির্ণয় করো ।
   
   

   (i)আগের মতো হবে, তবে তিনটি অনুপাতের যোগফল হরে হবে আর তিনবার একটি একটি করে অনুপাতের পদ গুলির সঙ্গে অঙ্কে দেওয়া যোগফল গুন করতে হবে । \(\frac{pa}{p+q+r}\) , \(\frac{qa}{p+q+r}\) আর \(\frac{ra}{p+q+r}\)

   
   

   (ii)অন্যভাবে বলা যায় অনুপাত এর পদগুলির যোগফল বের করে \(\left( p+q+r\right)\) সেই যোগফল দিয়ে অঙ্কে দেওয়া যোগফলের সঙ্গে প্রথমে ভাগ করে \(\frac{a}{p+q+r}\) সেই ভাগফলের সঙ্গে অনুপাতের একটি পাদ গুন করে সেই স্থানের নাম্বার পাওয়া যাবে । উদাহরণের সাহায্যে বোঝার চেষ্টা করি :-প্রথম স্থানের নাম্বার \(\frac{a}{p+q+r}\times p\), দ্বিতীয় স্থানের নাম্বার \(\frac{a}{p+q+r}\times q\), তৃতীয় স্থানের নাম্বার \(\frac{a}{p+q+r}\times r\)

   
   
8. একেই রকম ভাবে দুটি সংখ্যার বিয়োগফল হল a ও দুটি সংখ্যার অনুপাত হল p:q , তবে সংখ্যা দুটি কি কি হবে তা নির্ণয় করো ।
   
   

   এখানে একটি সংখ্যা বড় ও অপরটি ছোট হবে । তাই অনুপাতের পদগুলির যেটি বড় সংখ্যা সেটি হবে বড় আর অপরটি হবে ছোটো । এখানে p ও q এর মধ্যে p বড় হলে আমাকে বড় সংখ্যা বের করতে হলে এই সুত্র \(\frac{pa}{p-q}\), ছোটো সংখ্যা বের করতে হলে \(\frac{qa}{p-q}\), অর্থাৎ p > q ।

   
   
   

   আর যদি q বড় হয় তা হলে হবে এই সুত্র \(\frac{pa}{q-p}\), ছোটো সংখ্যা বের করতে হলে \(\frac{qa}{q-p}\), অর্থাৎ q > p ।

9. দুটি সংখ্যার যোগফল হল x ও দুটি সংখ্যার বিয়োগফল হল y , তবে সংখ্যা দুটির অনুপাত নির্ণয় করো ।

   সংখ্যা দুটির অনুপাত হবে x+y:x-y

   
   

   এখানে অঙ্ক দেওয়া যোগফলের সঙ্গে অঙ্ক দেওয়া বিয়োগফল দুটোয় যোগ করিলে অনুপাতের একটি পদ ও অঙ্ক দেওয়া যোগফলের সঙ্গে, অঙ্ক দেওয়া বিয়োগফল দুটোয় বিয়োগ করিলে অনুপাতের অন্য একটি পদ পাওয়া যাবে ।

10. দুটি সংখ্যার বিয়োগফল হল a ও দুটি সংখ্যার অনুপাত হল p:q , তবে সংখ্যা দুটির গুণফল নির্ণয় করো ।

    সংখ্যা দুটির গুণফল হবে :- \(\left(p\times q\right)\times\left( \frac{a}{p-q}\right)^{2}\) p > q ।বা q স্থানের অঙ্ক বড় হলে হবে \(\left(p\times q\right)\times\left( \frac{a}{q-p}\right)^{2}\) q > p ।

    এখানেও অনুপাতের পদ দুটির যে পদটি বড় তার থেকে ছোট পদ টি বিয়োগ করতে হবে ।

11. দুটি সংখ্যার অনুপাত হল p:q ও দুটি সংখ্যার বিয়োগফল হল y , তবে সংখ্যা দুটির যোগফল নির্ণয় করো ।

    যদি p বড় হয় তবে দুটি সংখ্যার যোগফল হবে \(\left(\frac{p+q}{p-q}\right)\times a\) অর্থাৎ p > q, আর যদি q বড় হয় তবে দুটি সংখ্যার যোগফল হবে \(\left(\frac{p+q}{q-p}\right)\times a\) অর্থাৎ q > p

12. টাকার বা মুদ্রার অনুপাতের অঙ্ক
    

    অনেক সময় টাকার বা মুদ্রার অঙ্ক অনুপাতের সাহায্যে করতে হয় । এখানে মুদ্রার সংখ্যা দেওয়া থাকলে মুদ্রাগুলির মূল্য সমষ্টি , আর মূল্য সমষ্টি দেওয়া থাকলে মুদ্রাগুলির সংখ্যা বের করতে হবে ।

    
    

    NO 1:- সমসংখ্যক মুদ্রা থাকলে প্রত্যেক মুদ্রার সংখ্যা বের করতে হলে আমাকে করিতে হবে এই সূত্র । মোট টাকা ভাজিত মুদ্রাগুলির মূল্য সমষ্টি, মোট টাকা \(\div\) মুদ্রাগুলির মূল্য সমষ্টি

    
    

    NO 2:-মুদ্রা গুলোর অনুপাত দেওয়া থাকবে ও আমাকে মোট মুদ্রার সংখ্যা বের করতে হলে আমাকে এই সূত্র প্রয়োগ করতে হবে । মোট টাকা ভাজিত মুদ্রাগুলির মূল্য সমষ্টি গুনিত অনুপাতের সমষ্টি , মোট টাকা \(\div\) মুদ্রাগুলির মূল্য সমষ্টি \(\times\) অনুপাতের সমষ্টি

    
    

    NO 3:- মুদ্রা গুলোর মূল্য সমষ্টি বের করতে হলে আমাকে এই সূত্র প্রয়োগ করতে হবে । মুদ্রার সংখ্যা ভাজিত অনুপাতের সমষ্টি গুণিত মুদ্রার মূল্য, মুদ্রার সংখ্যা \(\div\) অনুপাতের সমষ্টি \(\times\) মুদ্রার মূল্য

Disclaimer এর পেজটি অবশ্যই পড়বে