Time and work
সময় ও কার্য অঙ্কের সমস্ত সূত্র । এই সূত্র গুলি প্রয়োগ করে বড় বড় অঙ্ক সহজেই সমাধান করতে পারবো । চাকরির পরীক্ষায় এই সূত্র গুলি প্রয়োগ করে কম সময়ে সমাধান করা যায় |
আমরা সময় সম্বন্ধে অনেকেই জানি । আবার আমরা প্রত্যেকে কিছু না কিছু কাজ করে থাকি । যেমন আমি প্রতিদিন সকাল বেলায় 1 KM রাস্তা হাটি । আমার বন্ধু সুমন প্রতিদিন সকাল বেলায় 1 KM রাস্তা হাটে । এখানে আমরা দুজনেই সমান রাস্তা হাটি । কিন্তু এখানে পার্থক্য হল সময়ের । আমি 1 KM যায় 45 মিনিটে । ও আমার বন্ধু 1 KM যায় 30 মিনিটে |
আবার আমি ও আমার বন্ধু দুজনে বালতি করে 15 মিনিট ধরে জল তুলিলাম । আমার বালতিতে জল ধরে 1 লিটার , ও আমার বন্ধুর বালতিতে জল ধরে 1.5 লিটার । এতে দেখা গেল আমার থেকে আমার বন্ধু বেশি জল তুলিল । এখানে সময় সমান । কিন্তু এখানে পার্থক্য হল জলের পরিমাপের |
সময় ও কার্য এই অঙ্ক গুলো তে আমাদের এই পার্থক্যগুলির ব্যাপার বুঝতে হবে । আর এই পার্থক্য গুলোকে নিয়ে অঙ্ক করতে হবে |
এখানে A , B , C ও D হল ব্যক্তির নাম । কোনো ব্যক্তির নামের পরিবর্তে A , B , C ও D ব্যবহার করেছি । আর x , y , z হল দিনের পরিমান । এখানে কোনো একটি নির্দিষ্ট দিনের পরিবর্তে x , y , z ব্যবহার করেছি |
এবার সুত্র তে আসা যাক |
একটি কাজ বলতে বোঝায় সম্পুর্ন কাজ । সম্পুর্ন কাজ মানে অঙ্কের ভাষায় 1 অংশ ।
সুত্র 1 :- একটি কাজ A সম্পুর্ন করে x দিনে ও ঐ কাজটি B সম্পুর্ন করে y দিনে । A ও B ঐ কাজটি একসঙ্গে করলে কতদিনে শেষ করিবে ।
উত্তর :- \(\frac{x\times y}{x+y}\) দিনে
উত্তর কিভাবে এলে তার বিস্তারিত বর্ণনা |
A নিজে x দিনে করে 1 অংশ
A নিজে 1 দিনে করে \(\frac{1}{x}\) অংশ
B নিজে y দিনে করে 1 অংশ
B নিজে 1 দিনে করে \(\frac{1}{y}\) অংশ
A ও B দুজনে একসঙ্গে 1 দিনে করে \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{y}\) অংশ
\(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{y}\) = \(\frac{y+x}{x\times y}\) অংশ
A ও B দুজনে একসঙ্গে \(\frac{y+x}{x\times y}\) অংশ কাজ করে 1 দিনে
1 অংশ কাজ করে \(\frac{1}{\frac{y+x}{x\times y}}\) দিনে
\(1\times \frac{x\times y}{x+y}\)
\(\frac{x\times y}{x+y}\)
সুত্র 2 :- একটি কাজ A সম্পুর্ন করে x দিনে , ঐ কাজটি B সম্পুর্ন করে y দিনে ও ঐ কাজটি C সম্পুর্ন করে z দিনে । A,B ও C ঐ কাজটি একসঙ্গে করলে কতদিনে শেষ করিবে |
উত্তর :- \(\frac{xyz}{xy+yz+zx}\)
উত্তর কিভাবে এলে তার বিস্তারিত বর্ণনা |
A নিজে x দিনে করে 1 অংশ
A নিজে 1 দিনে করে \(\frac{1}{x}\) অংশ
B নিজে y দিনে করে 1 অংশ
B নিজে 1 দিনে করে \(\frac{1}{y}\) অংশ
C নিজে z দিনে করে 1 অংশ
C নিজে 1 দিনে করে \(\frac{1}{z}\) অংশ
A , B ও C তিন একসঙ্গে 1 দিনে করে \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{y}\) + \(\frac{1}{z}\)অংশ
\(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{y}\) + \(\frac{1}{z}\)= \(\frac{xy+yz+zx}{x\times y \times z}\)
A , B ও C তিন একসঙ্গে \(\frac{xy+yz+zx}{x\times y \times z}\) অংশ কাজ করে 1 দিনে
1 অংশ কাজ করে \(\frac{1}{\frac{xy+yz+zx}{x\times y \times z}}\) দিনে
\(\frac{1}{\frac{xy+yz+zx}{x\times y \times z}}\)
\(\frac{x\times y \times z}{xy+yz+zx}\)
সুত্র 3 :- A ও B একটি কাজ একসঙ্গে x দিনে সম্পন্ন করতে পারে । ঐ কাজটি যদি B একলা করে তা হলে y দিনে সম্পন্ন করতে পারবে । তবে ঐ কাজটি A একা কত দিনে সম্পন্ন করতে পারবে |
উত্তর :- \(\frac{x\times y}{y-x}\) দিনে
উত্তর কিভাবে এলে তার বিস্তারিত বর্ণনা |
এখানে আমাকে প্রথমে A , এক(one) দিনে ঐ কাজটির কত অংশ করে তা বের করতে হবে । এর জন্য আমাকে A ও B , একদিনে কত অংশ কাজ করেছে তা বের করতে হবে । তার পর B , এক দিনে একা কতটা কাজ করে তা বের করতে হবে ।
B - এক (one) দিনে একা কাজ করবে , দুজনের (A ও B) থেকে কম । দুজনের থেকে B এর কাজ বাদ দিলে পড়ে থাকবে A এর এক দিনের কাজ । অর্থাৎ A একলা এক দিনে কত অংশ করবে তার পরিমাণ |
A ও B একটি কাজ একসঙ্গে x দিনে করতে পারে 1 অংশ
A ও B একটি কাজ একসঙ্গে 1 দিনে করতে পারে \(\frac{1}{x}\) অংশ । যেহেতু দিন কমলে কাজের পরিমান কমবে তাই ভাগ |
B একলা y দিনে কাজটি করতে পারে 1 অংশ
B একলা 1 দিনে কাজটি করতে পারে \(\frac{1}{y}\) অংশ
অতএব A একলা এক দিনে করতে পারে \(\frac{1}{x}\) অংশ বিযুক্ত \(\frac{1}{y}\) অংশ
\(\frac{y-x}{x\times y}\)
A একলা \(\frac{y-x}{x\times y}\) অংশ কাজটি করতে পারে 1 দিনে
A একলা 1 অংশ কাজটি করতে পারে \(\frac{x\times y}{y-x}\) দিনে
সুত্র 4 :- কিছু নির্দিষ্ট সংখ্যক লোক একটি কাজ সম্পুর্ন করতে সময় লাগে x দিন । যদি m জন লোক প্রথম থেকেই অনুপস্থিত থাকে তবে ঐ কাজটি শেষ হতে আরো y দিন সময় বেশি লাগবে |
উত্তর :- \(\frac{m(x + y)}{y}\) দিনে
ধরিলাম p জন লোক প্রথমে কাজে যোগ দেবার কথা ছিল । অর্থাৎ p জন লোক একটি কাজ সম্পুর্ন করতে সময় লাগে x দিন ।
p জন লোকে একটি কাজ সম্পন্ন করতে পারে x দিন ।
1 জন লোকে একটি কাজ সম্পন্ন করতে পারে \(p\times x\) দিন । লোকসংখ্যা কমলে দিন বাড়বে । কারন এখানে p জন লোকের থেকে 1 জন লোক কম |
p-m জন লোকে একটি কাজ সম্পন্ন করতে পারে \(\frac{p\times x}{p-m}\) দিন |
শর্ত অনুযায়ী :- \(\frac{p\times x}{p-m}\) দিন = x+y | কারণ এখানে বলা হয়েছে আরো y দিন সময় বেশি লাগবে । আগে শেষ হবার কথা ছিল x দিনে , এখন শেষ হবে x+y দিনে |
\(\frac{p\times x}{p-m}\) = \(x+y\)
\(p\times x =(x+y)(p-m)\)
px=px+yp-xm-ym
px-px-yp= -xm-ym
-yp= -xm-ym
+yp= +xm+ym
p=\(\frac{m(x + y)}{y}\)
সুত্র 5 :- কিছু নির্দিষ্ট সংখ্যক লোক একটি কাজ সম্পুর্ন করতে সময় লাগে x দিন । যদি কাজটির শুরুতে আরো m জন লোক যোগ দেয় তবে ঐ কাজটি শেষ হতে y দিন সময় কম লাগবে |
লক্ষণীয় বিষয় :- সুত্র 4 এ লোক সংখ্যা যা নির্দিষ্ট করা ছিল তার থেকে কম লোক যোগ দিয়ে ছিল । তাই কাজ শেষ হতে বেশি সময় লেগেছিল । আর এখানে (সূত্র 5 ) যতজন লোক বলা ছিল তার থেকে আরো কিছু লোক যোগ দিল । তাই এখানে নির্দিষ্ট করা সময়ের থেকে কম সময় লাগবে |
উত্তর :- \(\frac{m(x - y)}{y}\) দিনে
ধরিলাম p জন লোক প্রথমে কাজে যোগ দেবার কথা ছিল । অর্থাৎ p জন লোক একটি কাজ সম্পুর্ন করতে সময় লাগে x দিন ।
p জন লোকে একটি কাজ সম্পন্ন করতে পারে x দিন ।
1 জন লোকে একটি কাজ সম্পন্ন করতে পারে \(p\times x\) দিন । লোকসংখ্যা কমলে দিন বাড়বে । কারন এখানে p জন লোকের থেকে 1 জন লোক কম |
p+m জন লোকে একটি কাজ সম্পন্ন করতে পারে \(\frac{p\times x}{p+m}\) দিন |
শর্ত অনুযায়ী :- \(\frac{p\times x}{p+m}\) দিন = x-y | কারণ এখানে বলা হয়েছে আরো y দিন সময় কম লাগবে । আগে শেষ হবার কথা ছিল x দিনে , এখন শেষ হবে x-y দিনে |
\(\frac{p\times x}{p+m}\) = \(x-y\)
\(p\times x =(x-y)(p+m)\)
px=px-yp+xm-ym
px-px+yp= +xm-ym
yp= +xm-ym
p=\(\frac{m(x - y)}{y}\)
\(\frac{m(x - y)}{y}\)
সুত্র 6 :- A , B এর থেকে p গুন বেশি কাজ করতে পারে । যদি A ও B দুজনে একসঙ্গে x দিনে একটি কাজ করতে পারে তবে A ও B একা একা ঐ কাজটি কত দিনে করতে পারবে |
NO:-1 এখানে A যত দিনে কাজটি করতে পারবে B তার থেকে বেশি দিন সময় নিবে । অর্থাৎ এখানে p গুন সময় বেশি নিবে |
NO:-2 কারণ A , B এর থেকে বলবান অর্থাৎ শক্তিসালি । তাই B এর থেকে কাজ করার ক্ষমতা A এর বেশি ( p গুন বেশি) । B এর কাজ করার ক্ষমতা কম ।
NO:-3 কোনো একটি কাজ B কে দেওয়া হলে B যতদিনে একা কাজ শেষ করতে পারবে , A একা সেই কাজ B এর থেকে কম দিনে শেষ করতে পারবে ।
NO:-4 এখানে আমি যদি মনে করি B ঐ কাজটি t দিনে শেষ করতে পারবে , তাহলে A ঐ কাজটি t দিনের থেকে কম সময়ে শেষ করবে । এখানে A ঐ কাজটি \(\frac{t}{p}\) দিনে শেষ করবে |
NO:-5 অন্যভাবে বলা যায় :- ধরি A একা ঐ কাজটি t দিনে সম্পূর্ণ করতে পারে । তা হলে B একা ঐ কাজটি tp দিনে সম্পূর্ণ করতে পারবে |
এবার অঙ্কে আসা যাক :-ধরি A একটি কাজ t দিনে সম্পূর্ণ করতে পারে ।
A একটি কাজ t দিনে করতে পারে 1 অংশ |
A একটি কাজ 1 দিনে করতে পারে \(\frac{1}{t}\) অংশ |
B একা ঐ কাজটি tp দিনে সম্পূর্ণ করতে পারবে |
B একটি কাজ tp দিনে করতে পারে 1 অংশ |
B একটি কাজ tp দিনে করতে পারে \(\frac{1}{tp}\) অংশ |
এখন A ও B এক দিন ঐ কাজটি করতে পারে \(\frac{1}{t}\) + \(\frac{1}{tp}\)
\(\frac{1}{t}\) + \(\frac{1}{tp}\) t ও tp এর লসাগু হল tp
\(\frac{p+1}{tp}\) অংশ |
\(\frac{p+1}{tp}\)অংশ কাজ করে 1 দিনে |
1 অংশ কাজ করে \(\frac{1}{\frac{p+1}{tp}}\) দিনে |
\(\frac{1}{\frac{p+1}{tp}}\)= \(1 \times \frac{tp}{p+1}\)
অঙ্কের শর্ত অনুয়ায়ি \(\frac{tp}{p+1}\) = x
\(\therefore\) t= \(\frac{x \times (p+1)}{p}\) দিনে A কাজটি সম্পন্ন করবে
\(\therefore\) t= \(\frac{x \times (p+1)}{p} \times p\) = \(\ x \times (p+1)\)দিনে B কাজটি সম্পন্ন করবে
\(\ x \times (p+1)\)
সুত্র 7 :- A একটি কাজ x দিনে ও B একটি কাজ y দিনে সম্পূর্ণ করতে পারে । প্রথম A একলা কাজটি শুরু করে ও কাজ শুরু করার z দিন পর A চলে যায় । বাকি থাকা কাজ B কত দিনে শেষ করবে |
উত্তর :- \(\frac{y \times (x-z)}{x}\)
এখানে আমাকে A , z দিনে কত টা কাজ করেছে তা বের করতে হবে । কারণ A , z দিন কাজ করেছিল ।
A, x দিনে কাজ করে 1 অংশ
A, 1 দিনে কাজ করে \(\frac{1}{x}\) অংশ
A, z দিনে কাজ করে \(\frac{1}{x} \times z \) অংশ
z দিন পর বাকি থাকা কাজ হলো , অর্থাৎ যতটা কাজ পড়ে থাকবে তা হলো \(1-\frac{z}{x}\) অংশ
\(1-\frac{z}{x}\)=\(\frac{x-z}{x}\) অংশ
এর পর \(\frac{x-z}{x}\) অংশ কাজটি B কতদিনে করতে পারবে তা বের করতে হবে ।
B সম্পন্ন কাজটির 1 অংশ করে y দিনে
B সম্পন্ন কাজটির \(\frac{x-z}{x}\) অংশ করে \(y \times \frac{x-z}{x}\) দিনে
সুত্র 8 :- A একটি কাজ x দিনে ও B একটি কাজ y দিনে সম্পূর্ণ করতে পারে । প্রথম B একলা কাজটি শুরু করে ও কাজ শুরু করার z দিন পর B চলে যায় । বাকি থাকা কাজ A কত দিনে শেষ করবে |
উত্তর :- \(\frac{x \times (y-z)}{y}\)
এখানে আমাকে B , z দিনে কত টা কাজ করেছে তা বের করতে হবে । কারণ B , z দিন কাজ করেছিল ।
B, y দিনে কাজ করে 1 অংশ
B, 1 দিনে কাজ করে \(\frac{1}{y}\) অংশ
B, z দিনে কাজ করে \(\frac{1}{y} \times z \) অংশ
z দিন পর বাকি থাকা কাজ হলো , অর্থাৎ যতটা কাজ পড়ে থাকবে তা হলো \(1-\frac{z}{y}\) অংশ
\(1-\frac{z}{y}\)=\(\frac{y-z}{y}\) অংশ
এর পর \(\frac{y-z}{y}\) অংশ কাজটি B কতদিনে করতে পারবে তা বের করতে হবে ।
B সম্পন্ন কাজটির 1 অংশ করে y দিনে
B সম্পন্ন কাজটির \(\frac{y-z}{y}\) অংশ করে \(x \times \frac{y-z}{y}\) দিনে
সুত্র 9 :- কোনো একটি কাজ A , x দিনে সম্পন্ন করতে পারে । কিন্তু A , z দিন কাজ করে চলে যায় । বাকি যে কাজটি পড়ে থাকে তা B , w দিনে শেষ করে । ঐ কাজটি B একা কত দিনে সম্পন্ন করতে পারতো ।
উত্তর :- \(\frac{x \times (y-z)}{y}\)