জটিল সুদ(Compound Interest)
উত্তর:-একটি নির্দিষ্ট সময় অন্তর প্রাপ্ত সুদ যখন আসল বা মূলধন এর সঙ্গে যোগ হয় এবং এইভাবে পাওয়া সবৃদ্ধিমূল বা সুদ আসলকে মূলধন ধরে পরবর্তী নির্দিষ্ট সময়ের জন্য সুদ ধার্য করা হয়| এই ভাবে চলতে থাকা সুদকে চক্রবৃদ্ধি সুদ বলে
উত্তর:-একটি নির্দিষ্ট সময় অন্তর সুদকে মূলধনের সঙ্গে যোগ করা হয়, এই সময়কে সুদ পর্ব বলে
সুদের পর্ব সাধারণত 1 বছর, 6 মাস, 3 মাস, 1 মাস হতে পারে l তবে সময় উল্লেখ করা না থাকলে 1 বছর ধরা হয়ে থাকে
প্রথম পর্বে মূলধনের উপর সুদ নির্ণয় করে সেই প্রাপ্ত সুদ কে আবার মূলধনের সঙ্গে যোগ করা হয় দ্বিতীয় পর্বের আসল তৈরি করার জন্য জন্য ৷ দ্বিতীয় পর্বে প্রথম পর্বের সুদ-আসল কে মূলধন ধরে তার সুদ নির্ণয় করা হয় এবং এই প্রাপ্ত সুদকে দ্বিতীয় পর্বের মূলধন এর সঙ্গে যুক্ত করা হয় তৃতিয় পর্বের আসল কারার জন্য । এই ভাবে প্রতি পর্বের পাওয়া সুদকে সেই পর্বেরের আসলের সঙ্গে যোগ করে পরবর্তি পর্বেরের আসল নির্নয় করা হয় ৷ এই ভাবে যত পর্বের বলা থাকবে তত বার সুদ বের করতে হবে আর আসলের সঙ্গে যোগ করতে হবে ।
মনে করা যাক p টাকার r% হারে n বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ হবে নিম্ন রূপ
100 টাকার 1 বছরের সুদ r টাকা
1 টাকার 1 বছরের সুদ \(\frac{r}{100}\) টাকা
p টাকার 1 বছরের সুদ \(\frac{rp}{100}\) টাকা [ \(\frac{rp}{100}\) টাকা হল প্রথম পর্বের শেষে সুদ]
⇉ ⇉ প্রথম পর্বের শেষে সুদ-আসল হবে \(p+\frac{pr}{100}\)=\(p(1+\frac{r}{100})\) টাকা
***[ দ্বিতীয় পর্বের আসল হল \(p+\frac{pr}{100}\)=\(p(1+\frac{r}{100})\) ] টাকা
100 টাকার 1 বছরের সুদ r টাকা
1 টাকার 1 বছরের সুদ \(\frac{r}{100}\) টাকা
\(p(1+\frac{r}{100})\) টাকার 1 বছরের সুদ \(p(1+\frac{r}{100})\times\frac{r}{100}\) টাকা [ \(p(1+\frac{r}{100})\times\frac{r}{100}\) টাকা হল দ্বিতীয় পর্বের শেষে সুদ]
⇉ ⇉ দ্বিতীয় পর্বের শেষে সুদ-আসল হবে \(p(1+\frac{r}{100})+p(1+\frac{r}{100})\times\frac{r}{100}\) টাকা
⇉ ⇉ =\(p(1+\frac{r}{100})(1+\frac{r}{100})\)
⇉ ⇉ =\(p(1+\frac{r}{100})^{2}\)
***[তৃতীয় পর্বের আসল হল \(p(1+\frac{r}{100})+p(1+\frac{r}{100})\times\frac{r}{100}\)
=\(p(1+\frac{r}{100})(1+\frac{r}{100})\)
=\(p(1+\frac{r}{100})^{2}\) ]
100 টাকার 1 বছরের সুদ r টাকা
1 টাকার 1 বছরের সুদ \(\frac{r}{100}\) টাকা
\(p(1+\frac{r}{100})^{2}\) টাকার 1 বছরের সুদ \(p(1+\frac{r}{100})^{2}\times\frac{r}{100}\) টাকা [ \(p(1+\frac{r}{100})^{2}\times\frac{r}{100}\) তৃতীয় পর্বের শেষে সুদ]
⇉ ⇉ তৃতীয় পর্বের শেষে সুদ-আসল হবে \(p(1+\frac{r}{100})^{2}+p(1+\frac{r}{100})^{2}\times\frac{r}{100}\) টাকা
⇉ ⇉ =\(p(1+\frac{r}{100})^{2}(1+\frac{r}{100})\) টাকা
⇉ ⇉ =\(p(1+\frac{r}{100})^{3}\) টাকা
***চতুর্থ পর্বের আসল \(p(1+\frac{r}{100})^{2}+p(1+\frac{r}{100})^{2}\times\frac{r}{100}\)
=\(p(1+\frac{r}{100})^{2}(1+\frac{r}{100})\)
=\(p(1+\frac{r}{100})^{3}\)
100 টাকার 1 বছরের সুদ r টাকা
1 টাকার 1 বছরের সুদ \(\frac{r}{100}\) টাকা
\(p(1+\frac{r}{100})^{3}\) টাকার 1 বছরের সুদ \(p(1+\frac{r}{100})^{3}\times\frac{r}{100}\) টাকা
[ \(p(1+\frac{r}{100})^{3}\times\frac{r}{100}\) চতুর্থ পর্বের শেষে সুদ]
⇉ ⇉ চতুর্থ পর্বের শেষে সুদ-আসল হবে \(p(1+\frac{r}{100})^{3}+p(1+\frac{r}{100})^{3}\times\frac{r}{100}\) টাকা
⇉ ⇉=\(p(1+\frac{r}{100})^{3}(1\times\frac{r}{100})\)
⇉ ⇉=\(p(1+\frac{r}{100})^{4}\)
***পঞ্চম পর্বের শুরুতে আসল \(p(1+\frac{r}{100})^{3}+p(1+\frac{r}{100})^{3}\times\frac{r}{100}\)
=\(p(1+\frac{r}{100})^{3}(1\times\frac{r}{100})\)
=\(p(1+\frac{r}{100})^{4}\)
⇉ ⇉ একই রকম ভাবে পঞ্চম পর্বের শেষে সুদ-আসল হবে \(p(1+\frac{r}{100})^{5}\)
***একই রকম ভাবে ৬ষ্ঠ পর্ব শুরুতে আসল \(p(1+\frac{r}{100})^{5}\)
⇉ ⇉ একই রকম ভাবে ৬ষ্ঠ পর্বের শেষে সুদ-আসল হবে \(p(1+\frac{r}{100})^{6}\)
***একই রকম ভাবে সত্তম পর্ব শুরুতে আসল \(p(1+\frac{r}{100})^{6}\)
⇉ ⇉ একই রকম ভাবে সত্তম পর্বের শেষে সুদ-আসল হবে \(p(1+\frac{r}{100})^{7}\)
***একই রকম ভাবে n তম পর্ব শুরুতে আসল \(p(1+\frac{r}{100})^{n-1}\)
⇉ ⇉ একই রকম ভাবে n তম পর্বের শেষে সুদ-আসল হবে \(p(1+\frac{r}{100})^{n}\)
একটা বিষয় লক্ষ করা যাচ্ছে পর্ব যত বাড়ছে পাওয়ার ততো বৃদ্ধি পাচ্ছে ৷ অঙ্কে n সংক্ষক পর্ব আছে মানে আমার পাওয়ার এর ঘরে n বসবে
জটিল সুদের সূত্র
Here Have Some Compound Interest Formula
Principal=আসল=P;rate%=সুদের হার=r;Time=সময়=n; সবৃদ্ধিমূল =A টাকা হলে
(সূত্র নম্বর 1)যদি 1 বছর অন্তর সুদ পাওয়া যায়, মানে পর্ব বছরে 12/12=1 বার হলে n বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে
\(A=p(1+\frac{r}{100})^{n}\) টাকা
n বছর অন্তর চক্রবৃদ্ধি সুদ হবে I=\((A-p)=p(1+\frac{r}{100})^{n}-p\) টাকা
(সূত্র নম্বর 2)যদি 6 মাস অন্তর সুদ পাওয়া যায়, মানে পর্ব বছরে 12/6=2 বার হলে হলে n বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে
\(A=p(1+\frac{\frac{r}{2}}{100})^{2n}\)
n বছর অন্তর চক্রবৃদ্ধি সুদ হবে I=\((A-p)=p(1+\frac{\frac{r}{2}}{100})^{2n}-p\) টাকা
(সূত্র নম্বর 3)যদি 4 মাস অন্তর সুদ পাওয়া যায়, মানে পর্ব বছরে 12/4=3 বার হলে হলে n বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে
\(A=p(1+\frac{\frac{r}{3}}{100})^{3n}\)
n বছর অন্তর চক্রবৃদ্ধি সুদ হবে I=\((A-p)=p(1+\frac{\frac{r}{3}}{100})^{3n}-p\) টাকা
(সূত্র নম্বর 4)যদি 3 মাস অন্তর সুদ পাওয়া যায়, মানে পর্ব বছরে 12/3=4 বার হলে হলে n বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে
\(A=p(1+\frac{\frac{r}{4}}{100})^{4n}\)
n বছর অন্তর চক্রবৃদ্ধি সুদ হবে I=\((A-p)=p(1+\frac{\frac{r}{4}}{100})^{4n}-p\) টাকা
(সূত্র নম্বর 5)যদি 2 মাস অন্তর সুদ পাওয়া যায়, মানে পর্ব বছরে 12/2=6 বার হলে হলে n বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে
\(A=p(1+\frac{\frac{r}{6}}{100})^{6n}\)
n বছর অন্তর চক্রবৃদ্ধি সুদ হবে I=\((A-p)=p(1+\frac{\frac{r}{6}}{100})^{6n}-p\) টাকা
(সূত্র নম্বর 6)যদি 1 মাস অন্তর সুদ পাওয়া যায়, মানে পর্ব বছরে 12/1=12 বার হলে হলে n বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে
\(A=p(1+\frac{\frac{r}{12}}{100})^{12n}\)
n বছর অন্তর চক্রবৃদ্ধি সুদ হবে I=\((A-p)=p(1+\frac{\frac{r}{12}}{100})^{12n}-p\) টাকা
(সূত্র নম্বর 7)যদি m মাস অন্তর সুদ পাওয়া যায়, মানে পর্ব বছরে 12/m=12/m বার হলে হলে n বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে
\(A=p(1+\frac{\frac{r}{\frac{12}{m}}}{100})^{\frac{12}{m}n}\)
n বছর অন্তর চক্রবৃদ্ধি সুদ হবে I=\((A-p)=p(1+\frac{\frac{r}{\frac{12}{m}}}{100})^{\frac{12}{m}n}-p\) টাকা
(সূত্র নম্বর 8)যদি পর্ব বছরে z বার হয় তবে n বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে
\(A=p(1+\frac{\frac{r}{z}}{100})^{zn}\)
n বছর অন্তর চক্রবৃদ্ধি সুদ হবে I=\((A-p)=p(1+\frac{\frac{r}{z}}{100})^{zn}-p\) টাকা
সূত্র নম্বর 2,3,4,5,6 এর বর্ণনা
(সূত্র নম্বর 2)যদি 6 মাস অন্তর সুদ পাওয়া যায়, মানে পর্ব বছরে 12/6=2 বার হলে হলে n বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে
\(A=p(1+\frac{\frac{r}{2}}{100})^{2n}\)
\(\frac{r}{2}\)% হওয়ার কারণ:- 6 মাস অন্তর সুদ পাওয়া যায়, মানে বছরে 2 বার আমি সুদ পাব ৷ কিন্তু সুদের হার এখানে যেটা দেওয়া আছে সেটা হল বছরে 1 বার । তাই সুদের হারকে 2 দিয়ে ভাগ করা হয়েছে l কারন এখানে প্রথমে 6 মাসের সুদ বের করতে হবে l তাই 6 মাসে সুদের হার \(\frac{r}{2}\)% l
2n হওয়ার কারণ:-যদি আমি বছরে 2 বার সুদ পাই তবে n বছরে আমি সুদ পাব 2n বার | তাই 2n দিয়ে গুন করা হয়েছে
(সূত্র নম্বর 3)যদি 4 মাস অন্তর সুদ পাওয়া যায়, মানে পর্ব বছরে 12/4=3 বার হলে হলে n বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে
\(A=p(1+\frac{\frac{r}{3}}{100})^{3n}\)
\(\frac{r}{3}\)% হওয়ার কারণ:- 4 মাস অন্তর সুদ পাওয়া যায়, মানে বছরে 3 বার আমি সুদ পাব ৷ কিন্তু সুদের হার এখানে যেটা দেওয়া আছে সেটা হল বছরে 1 বার । তাই সুদের হারকে 4 দিয়ে ভাগ করা হয়েছে l কারন এখানে প্রথমে 4 মাসের সুদ বের করতে হবে l তাই 4 মাসে সুদের হার \(\frac{r}{3}\)% l
3n হওয়ার কারণ:-যদি আমি বছরে 3 বার সুদ পাই তবে n বছরে আমি সুদ পাব 3n বার | তাই 3n দিয়ে গুন করা হয়েছে
(Q2) 5.5% হারে 5000 টাকার 1 বছরের সুদ আসল হবে
\(I=\frac{ptr}{100}\) সূত্র অনুযায়ী (আমাকে সুদ বের করতে হবে)
\(\frac{5000\times 1\times 5.5}{100}= 275\)
সুদ হবে 275 টাকা
\(\therefore\) সুদ আসল হবে সুদ+আসল= 275+5000=5275 টাকা
একই রকম অঙ্ক
(Q2.1) বার্ষিক 5% সরল সুদে 300 টাকার 7 বছরের সুদ আসল কত হবে? ANS:-405