ট্রেন সংক্রান্ত অঙ্ক

ট্রেন সংক্রান্ত অঙ্ক গুলোতে আমাদের কে ট্রেনের দৈর্ঘ্য কত , প্ল্যাটফর্ম কত লম্বা , কত সেকেন্ডে ট্রেনটি ইলেকট্রিক পোল কে অতিক্রম করবে , এই রকম আরো নানা ধরনের সমস্যার সমাধান করতে হবে | নিচের সূত্রগুলো তে ভালো ভাবে বিস্তারিত আলোচনা করা হলো |

প্রথমে কিছু বিষয় ভালো ভাবে বুঝে নেওয়া যাক |

1. যখন একটি ট্রেন কোনো একটি ইলেকট্রিক পিলার (খুটি অথবা মানুষ অথবা এই ধরনের একটা বস্তু ) কে অতিক্রম করবে তখন ঐ ট্রেনটির নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করবে |
2. যখন কোনো ট্রেন প্ল্যাটফর্মকে অতিক্রম করবে তখন ট্রেনটির দৈর্ঘ্য ও প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করবে | এই রকম অর্থাৎ প্লাটফর্মের মতো আরো অনেক জিনিস আছে , যেগুলো এই জিনিসের মধ্যে পড়ে | যেমন সেতু, অন্য কোনো ট্রেন বা মাল গাড়িকে অতিক্রম করা ইত্যাদী |

3. দুটি ট্রেনের গতিবেগ যখন এক দিকে হয় অর্থাৎ ট্রেন দুটির গতিবেগের অভিমুখ একই দিকে হয় তখন তাদের আপেক্ষিক গতিবেগ বের করতে হলে ট্রেন দুটির গতিবেগ বিয়োগ করতে হবে |

   
   

   একটি উদাহরণ এর সাহায্যে বুঝার চেষ্টা করি :- ধরি দুটি ট্রেন এর নাম A ও B | এখন A ট্রেনের গতিবেগ B ট্রেনের থেকে বেশি , অর্থাৎ A > B | আমরা সবাই বুঝতে পারবো A ট্রেনটি B ট্রেনকে অতিক্রম করবে | কিন্তু কত সময়ে অতিক্রম করবে তা বের করতে হলে আমাকে অঙ্ক করতে হবে | এখন যদি A ট্রেনের গতিবেগ বিযুক্ত B ট্রেনের গতিবেগ করি তা হলে আমরা একটা নতুন গতিবেগ পাবো | এই নতুন পাওয়া গতিবেগ টি হলো আপেক্ষিক গতিবেগ | ধরি এই নতুন গতিবেগ যেটা পেলাম সেটি হল Z km/h | অর্থাৎ B ট্রেনটি যদি দাড়িয়ে থাকে তা হলে A ট্রেনটি Z km/h গতিবেগ নিয়ে চলবে এবং B ট্রেনকে অতিক্রম করবে | (গতিবেগ বিয়োগ ও ট্রেন দুটির দৈর্ঘ্য য়োগ)

4. যদি দুটি ট্রেনের গতিবেগ বিপরীত দিকে হয় , তখন আপেক্ষিক গতিবেগ বের করতে হলে ট্রেন দুটির গতিবেগ যোগ করতে হবে |





উদাহরণ :-ধরে নিলাম A নামক ট্রেনটি গতিবেগ x km/h , ও গতির অভিমুখ পশ্চিম থেকে পূর্ব দিকে যাচ্ছে | আর B নামক ট্রেন পূর্ব দিক থেকে পশ্চিম দিকে যাচ্ছে | এই ট্রেন দুটি এক সময় সামনাসামনি আসবে (মিলিত হবে) , তার কিছুক্ষণ পর অতিক্রম করবে | (গতিবেগ যোগ ও ট্রেন দুটির দৈর্ঘ্য য়োগ)

নিচে কতগুলো সূত্র উল্লেখ করা হলো | এই সূত্র গুলি ব্যবহার করে কম সময়ে অঙ্ক গুলি সমাধান করিতে পারিবো |

ট্রেন সংক্রান্ত অঙ্ক করার জন্য প্রয়োজনীয় সূত্র গুলি নিয়ে আলোচনা করা হলো

প্রথমে সূত্র গুলি কিভাবে এলো তার বর্ণনা | আর সূত্রগুলিকে লাল রং করা হয়েছে |

সূত্র নম্বর 1 :-

একটি x মিটার লম্বা ট্রেন t সেকেন্ডে একটি ইলেকট্রিক পোল কে অতিক্রম করবে | তবে ট্রেনটির গতিবেগ কত হবে |

ইলেকট্রিক পোল অতিক্রম করা মানে নিজের অর্থাৎ ট্রেনটির দৈর্ঘ্ অতিক্রম করা | এখানে ট্রেনটি t সেকেন্ডে যাবে x মিটার | এক ঘণ্টায় কত দূর যাবে সেই টাই আমাকে বের করতে হবে |

t সেকেন্ডে যায় x মিটার

1 সেকেন্ডে যায় \(\frac{x}{t}\) মিটার

3600 সেকেন্ডে যায় \(\frac{x}{t}\times 3600\) মিটার

\(\frac{x}{t}\times 3600\) মিটার = \(\frac{x}{t}\times 3600 \times \frac{1}{1000}\) = \(\frac{x \times 36}{t \times 10}\) কিলোমিটার/ ঘন্টা |

সূত্র নম্বর 2 :-

একটি ট্রেন x km/h গতিবেগ নিয়ে চলিলে কত সময়ে একটি ইলেকট্রিক পোস্টকে অতিক্রম করিবে | ট্রেনটির দৈর্ঘ্য হল y মিটার

এই রকম থাকলে আমাদেরকে করতে হবে :- (1 \(\div \) গতিবেগ ) \(\times \)ট্রেনটির দৈর্ঘ্য |

সূত্র নম্বর 3 :-

একটি ট্রেন x km/h গতিবেগে চলে একটি ইলেকট্রিক পোস্টকে t সেকেন্ডে অতিক্রম করিবে | তবে ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত মিটার হবে |

এই রকম থাকলে:- গতিবেগ \(\times \)কত সময়ে অতিক্রম করছে |

সূত্র নম্বর 4 :-

দুটি ট্রেন বিপরীত দিকে চলে একে অপরকে t সেকেন্ডে অতিক্রম করে | প্রথম ট্রেনের গতিবেগ x km/h ও দৈর্ঘ্য হল m মিটার | দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ y km/h, তবে দ্বিতীয় ট্রেনের দৈর্ঘ্য কত ?

এই রকম থাকলে:- গতিবেগ \(\times \)কত সময়ে অতিক্রম করছে |

ধরি দ্বিতীয় ট্রেনের দৈর্ঘ্য n মিটার | অতএব দুটি ট্রেনের দৈর্ঘ্যের যোগফল হল (m+n) মিটার |

যেহেতু ট্রেন দুটির গতিবেগ বিপরীত দিকে তাই তাদের আপেক্ষিক গতিবেগ হলো (x+y) km/h = (x+y) \(\times \) 1000 মিটার |

(x+y) \(\times \) 1000 মিটার যায় 3600 সেকেন্ড |

1 মিটার যায় \(\frac{3600}{(x+y)\times 1000}\) সেকেন্ড |

(m+n) মিটার যায় \(\frac{3600\times (m+n)}{(x+y)\times 1000}\) সেকেন্ড |

\(\frac{3600\times (m+n)}{(x+y)\times 1000}\) = \(\frac{(m+n)}{(x+y)}\times\frac{3600}{1000}\) = \(\frac{(m+n)}{(x+y)}\times\frac{18}{5}\)

এখন শর্ত অনুযায়ী \(\frac{(m+n)}{(x+y)}\times\frac{18}{5}\) = t

\(\frac{(m+n)\times 18}{(x+y)\times 5}\)=t

\(\frac{(18m+18n)}{(5x+5y)}\)=t

18m+18n=5xt+5yt

আমাকে n এর মান বের করতে হবে, তাই 18n=5xt+5yt-18m

n=\(\frac{5xt+5yt-18m}{18}\)

n=\(\frac{5t \times (x+y)}{18} - \frac{18m}{18}\)

\(\frac{5}{18}\times t \times (x+y)-m\)

সূত্র নম্বর 5 :-

দুটি ট্রেনের গতিবেগের অভিমুখ বিপরীত | ট্রেন দুটির গতিবেগ যথাক্রমে x km/h ও y km/h | দ্বিতীয় ট্রেনটি, প্রথম ট্রেনে বসে থাকা একটি লোককে t সেকেন্ড অতিক্রম করে | তবে দ্বিতীয় ট্রেনের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর |

সূত্র নম্বর 4 তে একটি ট্রেন অপরকে অতিক্রম করছে মানে ট্রেন দুটির মোট দৈর্ঘ্ অতিক্রম করছে | এখানে প্রথম ট্রেনে বসে থাকা লোকটিকে অতিক্রম করা মানে দ্বিতীয় ট্রেনটির নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করা | এখানে প্রথম ট্রেনে বসে থাকা লোকটি গতিশীল , কারণ লোকটি ট্রেনের মধ্যে থাকার কারনে প্রথম ট্রেনের গতিবেগ যা হবে লোকটির গতিবেগোও তাই হবে | তাই এখানে লোকটির গতিবেগ হলো x km/h

অতএব দ্বিতীয় ট্রেন ও প্রথম ট্রেনে বসে থাকা লোকটির আপেক্ষিক গতিবেগ হলো (x+y) km/h | গতিবেগ বিপরীত দিকে হলে আপেক্ষিক গতিবেগ বের করতে হলে গতিবেগ দুটির যোগ করতে হয় |

আমাদের এই সমস্ত অঙ্কে মানুষ এর দৈর্ঘ্য ধরা হয় না | তাই মানুষ এর দৈর্ঘ্য হবে এখানে 0 ( শুন্ন) | সূত্র নম্বর 4 তে আমরা একটা সুত্র পেয়েছিলাম | সূত্রটি হলো \(\frac{5}{18}\times t \times (x+y)-m\) | সূত্র নম্বর 5 তে m এর একটি নির্দিষ্ট মান ছিল | সূত্র নম্বর 5 তে m এর মান হবে 0 , কারণ মানুষ এর দৈর্ঘ্য 0 | এরপর যদি আমি আগের সূত্রে m এর পরিবর্তে 0 বসাই তাহলে আমার নতুন সূত্র হবে নিম্নরূপ |

\(\frac{5}{18}\times t \times (x+y)-0\)

\(\frac{5}{18}\times t \times (x+y)\)

সূত্র নম্বর 6 :-

দুটি ট্রেনের গতির অভিমুখ একই দিকে | দ্বিতীয় ট্রেনটি প্রথম ট্রেনকে t সেকেন্ডে অতিক্রম করে | প্রথম ট্রেনের গতিবেগ x km/h ও দৈর্ঘ্য হল m মিটার | দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ y km/h, তবে দ্বিতীয় ট্রেনের দৈর্ঘ্য কত ?

ধরি দ্বিতীয় ট্রেনের দৈর্ঘ্য n মিটার | অতএব দুটি ট্রেনের দৈর্ঘ্যের যোগফল হল (m+n) মিটার |

যেহেতু ট্রেন দুটির গতিবেগ একই দিকে তাই তাদের আপেক্ষিক গতিবেগ হলো (y-x) km/h = (y-x) \(\times \) 1000 মিটার/ঘন্টা |

(y-x) \(\times \) 1000 মিটার যায় 3600 সেকেন্ড |

সূত্র নম্বর 4 এর মতোই হবে | শুধু পরিবর্তন করতে হবে আপেক্ষিক গতি বেগের | বাকি সমস্ত একেই রকম থাকবে |

\(\frac{5}{18}\times t \times (y-x)-m\)

সূত্র নম্বর 7 :-

দুটি ট্রেনের গতির অভিমুখ একই দিকে | দ্বিতীয় ট্রেনটি প্রথম ট্রেনের একজন যাত্রীকে t সেকেন্ডে অতিক্রম করে | প্রথম ট্রেনের গতিবেগ x km/h | দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ y km/h, তবে দ্বিতীয় ট্রেনের দৈর্ঘ্য কত ?

সূত্র নম্বর 5 এর মতোই হবে | শুধু পরিবর্তন করতে হবে আপেক্ষিক গতি বেগের | বাকি সমস্ত একেই রকম থাকবে | এখানে ট্রেন দুটির আপেক্ষিক গতিবেগ হলো (y-x) km/h

\(\frac{5}{18}\times t \times (y-x)\)

বিদ্রোহ :- 4,5,6,7 নম্বর সূত্র গুলো তে একটি ট্রেনের দৈর্ঘ্য বের করতে হবে | আমি এখানে দ্বিতীয় ট্রেনের দৈর্ঘ্য বের করেছি | প্রথম ট্রেনের দৈর্ঘ্য বের করতে বললে একই রকম সূত্র হবে | শুধু চলরাশি গুলি/ বাস্তব রাশিগুলির মান লক্ষ্য করে বসাতে হবে |

সূত্র নম্বর 8 :-

P ও Q নামক দুটি স্থান থেকে দুটি ট্রেন একে অপরের দিকে একি সময় যাত্রা শুরু করিল | ট্রেন দুটির গতিবেগ যথাক্রমে x km/h ও y km/h | ট্রেন দুটি যখন মিলিত হয় তখন দেখা যায় একটি ট্রেন অন্যটির থেকে z km রাস্তা বেশি অতিক্রম করেছে | তবে P ও Q রাস্তার দূরত্ব কত নির্ণয় কর |

এই অঙ্কটি একটি উদাহরণ এর মাধ্যমে বোঝা যাক :-P ও Q নামক দুটি স্থান থেকে দুটি ট্রেন একে অপরের দিকে একি সময় যাত্রা শুরু করিল | ট্রেন দুটির গতিবেগ যথাক্রমে x km/h ও y km/h | ট্রেন দুটি যখন মিলিত হয় তখন দেখা যায় একটি ট্রেন অন্যটির থেকে z km রাস্তা বেশি অতিক্রম করেছে | তবে P ও Q রাস্তার দূরত্ব কত নির্ণয় কর |

মনে করি একটি ট্রেনের নাম A ও অপরটি হলো B | এখানে A ট্রেনের গতিবেগ B ট্রেনের থেকে বেশি | মনে করি সমস্ত রাস্তার দৈর্ঘ অর্থাৎ P ও Q এর দৈর্ঘ্ m কিলোমিটার | এবং ধরে নিলাম A ও B নামক ট্রেন দুটি t সময়ে মিলিত হবে | অর্থাৎ যাত্রা শুরু হবার t সময় পর মিলিত হবে |

যদি B নামক ট্রেনটি দাঁড়িয়ে থাকতো তাহলে A নামক ট্রেনটি 13 km পথ যেতো t সময় | কারণ অঙ্কে বলা আছে যখন তারা মিলিত হবে তখন একে অপরের থেকে 13 km পথ বেশি যাবে | এখানে A এর গতিবেগ বেশি তাই A, 13 km পথ বেশি যাবে |

এখন আমি যদি A ট্রেনের গতিবেগ থেকে B ট্রেনের গতিবেগ বিয়োগ করি তা হলে আমি একটা নতুন গতিবেগ পাবো | সেই বেশি গতিবেগ নিয়েই A ট্রেনটি B ট্রেনের থেকে এগিয়ে যাবে | তাই ঐ নতুন বেশি গতিবেগ নিয়ে 13 km পথ যাবে যত সময়ে তত সময়ে তারা মিলিত হবে নিজ নিজ গতিবেগ নিয়ে চলিলে | এখান থেকে আমি t এর মান পেয়ে যাবো |